Für ein Archiv das unter dem Inhalt einer Themenseite dargestellt werden soll, wurde ein Seitentemplate mit einem Custom Query und einer Pagination mit paginate_links angelegt. Das funktionierte auch, so lange die Seite mit dem Archiv nicht zur Startseite gemacht wurde. Auf der Startseite ändert sich mit Klick auf eine Folgeseite zwar der Permalink in der Adresszeile, es bleiben jedoch die Posts von der ersten Seite stehen.

Bei den Argumenten in register_post_type() war 'has_archive' => true, und ein rewrite-slug definiert. Beides ist für den Anwendungsfall innerhalb eines Seitentemplates nicht erforderlich.

Der nächste Punkt waren die Argumente für den Custom Query.

$args = array(
      'post_type'       => array( 'application' ),
      'post_status'     => array( 'publish' ),
      'posts_per_page'  => '9',
      'paged' => ( get_query_var('paged') ? get_query_var('paged') : 1 ),
); 
           
$loop = new WP_Query( $args );
....

get_query_var('paged') betrifft Archive, für Seiten ist es get_query_var('page').

Allerdings brachte es nichts, paged auf ( get_query_var('page') ? get_query_var('page') : 1 ) zu ändern.

Damit funktionierte die Pagination im Custom Post Type des Templates auf der Startseite wie auch auf einer Unterseite.

'paged' => ( get_query_var('paged') ? get_query_var('paged') : ( get_query_var('page') ? get_query_var('page') : 1 ) ),